等腰三角形（isosceles triangle），指至少有两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
基本介绍
中文名 ：等腰三角形 外文名 ：Isosceles triangle 分类 ：数学 属于 ：几何 特点 ：两边相等两角相等 特殊 ：等腰直角三角形
定义,分类,性质,判定的方式,证明,
定义
至少有两边相等的三角形叫等腰三角形。等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
等腰三角形 分类
等腰直角三角形 1、定义 有一个角是直角的等腰三角形，叫做
等腰直角三角形 。它是一种特殊的三角形，具有所有等腰三角形的性质，同时又具有所有直角三角形的性质。 2、关系 等腰直角三角形的边角之间的关系 ： （1）三角形三内角和等于180°。 （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。 （3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 （4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 （5）在同一个三角形内，等边对等角，等角对等边。 3、四条特殊的线段：
角平分线， 中线 ，
高 ，
中位线。 （1）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等。 （2）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。 （3）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。 （4）三角形的三条高或它们的延长线的交点叫做三角形的垂心。 （5）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的二分之一。 （6）三角形斜边上的高等于斜边的一半。 备注： ①三角形的内心、重心都在三角形的内部 . ②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。 ③直角三角形垂心、外心在三角形的边上（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点）。 ④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。
等边三角形 1、定义 所谓的等边三角形，是三边都相等的等腰三角形。 2、性质 （1）每个角都为60°，三角形三内角和等于180°。 （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。 （3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 （4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 （5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边。
性质
1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“
等边对等角 ”）。 2.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形
三线合一 ”）。 3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。 4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。 5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。 6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。 7.一般的等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。但等边三角形（特殊的等腰三角形）有三条对称轴。每个角的角平分线所在的直线，三条中线所在的直线，和高所在的直线就是等边三角形的对称轴。 8.等腰三角形中腰长的平方等于底边上高的平方加底的一半的平方（勾股定理）。 9.等腰三角形的腰与它的高的关系：腰大于高；腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。
判定的方式
定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。 判定定理：在同一三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。 除了以上两种基本方法以外，还有如下判定的方式：
在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。 在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。 在一个三角形中，如果一条边上的中线与该边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该边为底边。
显然，以上三条定理是“三线合一”的逆定理。 有两条角平分线（或中线，或高）相等的三角形是等腰三角形。
证明
有关问题的证明 已知：△ABC中，∠A=60°，且AB+AC=a， 求证：当三角形的周长最短时，三角形是等边三角形。 证明：AC=a-AB 根据余弦定理 BC2=AB2+BC2-2AB*BC*cosA BC2=AB2+BC2-AB*BC=AB2+(a-AB)2-AB*(a-AB)=3AB2-3a*AB+a2=3(AB-a/2)2+a2/4 所以当AB=a/2时，BC=a/2最小 AC=a-a/2=a/2 这时，周长为AB+AC+BC=a+BC=a+a/2=3a/2最短 AB=AC=BC=a/2 所以当周长最短时的三角形是正三角形。