设A为二阶方阵，a11=2,a12=-1,a21=-1,a22=2.求a的n次方

Question

如题所述

Answer 1

由a是正定矩阵,
知对任意非零向量x都有
x'ax
>0.
对任意
非零向量x2
(维数与a22的阶相同)
令
x
=
(o,x2)
(o是全0的向量,
维数与a11的阶相同)
则
x
!=
0.
故
x'ax
>0.
而此时
x2'a22x2
=
x'ax
(分块矩阵的乘法计算一下就得到了)
>0
所以
a22
是正定矩阵.

Answer 2

解：由题知，A=[2,
-1;-1
,2];
A^2=[5,
-4;-4
,5];
A^3=[14,
-13;-13
,14]
假设A^n=[(3^n+1)/2,-(3^n-1)/2;-(3^n-1)/2
,(3^n+1)/2],则n=1,2,3时成立。
运用数学归纳法，假定n=k-1时成立，即A^(k-1)=[(3^(k-1)+1)/2,-(3^(k-1)-1)/2;-(3^(k-1)-1)/2
,(3^(k-1)+1)/2]
当n=k
时，A^k=A^(k-1)*A=[(3^k+1)/2,-(3^k-1)/2;-(3^k-1)/2
,(3^k+1)/2]
所以，有数学归纳法知
A^n=[(3^n+1)/2,-(3^n-1)/2;-(3^n-1)/2
,(3^n+1)/2]
谢谢！