因为n个1/n相加(无数个无穷小之和)=n*(1/n)=1不是无穷小,所以必须有限个无穷小之和是无穷小。无限个无穷小之和不一定是无穷小。
假设当x趋于x0时,f1(x),f2(x)……fn(x)都趋于0,则由极限的定义可知
对于任意给出的一个正数ε,必zhuan存在一个正数δ,使得|x-x0|<δ时,|fn(x)-0|=|fn(x)|<ε成立(n为正整数)
现在任取一个正数ε,取α=ε/n,则必存在一个正数δ1,使得|x-x0|<δ1时,|f1(x)|<α
同理得到δ2,δ3……δn,取δ=min{δ1,δ2……δn}
则|x-x0|<δ时,必有|fk(x)|<ε(k=1,2,……n)
而|f1(x)+f2(x)+……+fn(x)|<|f1(x)|+|f2(x)|+……+|fn(x)|<α*n=ε
则由ε的任意性可知, lim f1(x)+f2(x)+……+fn(x)=0
命题得证
扩展资料:
有限个无穷小量之和仍是无穷小量。
有限个无穷小量之积仍是无穷小量。
有界函数与无穷小量之积为无穷小量。
特别地,常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。
恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大,无穷大的倒数为无穷小。
参考资料来源:百度百科-无穷小量