设x1,x2是关于x的方程x²-(k+2)x+2k+1=0的两个实数根,且x2+x2=11

Question

1.求k值 （2）利用根于系数的关系求一个一元二次方程，是它的一个根是原方程两个根的和，另一根是原方程根的差的平方。（好像很难,阁下没啥积分，帮帮忙吧）

Answer 1

(1)
x1+x2=k+2
x1x2=2k+1
(x1+x2)²=x1²+x2²+2x1x2
=11+2x1x2
(k+2)²=11+2(2k+1)
k²+4k+4=11+4k+2
k²=9
k=±3
k=3时，x²-5x+7=0
δ=25-4*7<0（与两实数根矛盾，故舍去k=3）
k=-3时，x²+x-5=0
δ=1+20=21>0，k=-3符合题意，故k=-3
(2)
x²+x-5=0
x1+x2=-1
x1x2=-5
新方程的两根为x3,x4
x3=x1+x2=-1
x4=(x1-x2)²
=x1²+x2²-2x1x2
=11-2*(-5)
=21
x3+x4=-1+21=20
x3x4=(-1)*21=-21
新方程：x²-20x-21=0

Answer 2

设x1,x2是关于x的方程x²-(k+2)x+2k+1=0的两个
实数根
,且x1+x2=11
根据"
韦达定理
"得:
x1+x2=k+2=11
k=9.
x1+x2=11,x1x2=2k+1=19
(2)设新方程的二个根分别是a,b
a=x1+x2=11
b=(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=11^2-4*19=45
即新方程是:x^2-11x+45=0

Answer 3

x1+x2=k+2=11,k=9.
原方程为
x^2-11x+19=0
即求k3=x1+x2=11
k4=(x1-x2)^2=（b^2-4ac)/a^2=3√5
而k3+k4=11+3√5
k3*k4=33√5
所以这个方程是
x^2-(11+3√5)x+33√5=0