求一阶非齐次线性微分方程y'＝y＋x的通解

Question

如题所述

Answer 1

先算对应的齐次方程的解.
y'+p(x)y=0
y'/y=-p(x)
lny=-∫p(x)dx+c
y=ke^(-∫p(x)dx)
下面用常数变易法求解原方程的解.
设k为u(x)
y=u(x)e^(-∫p(x)dx)
y'=u'(x)e^(-∫p(x)dx)-u(x)p(x)e^(-∫p(x)dx)
代入得：
q(x)
=u'(x)e^(-∫p(x)dx)-u(x)p(x)e^(-∫p(x)dx)+u(x)p(x)e^(-∫p(x)dx)
u(x)=∫q(x)e^(∫p(x)dx)+c
y=e^(-∫p(x)dx)(∫q(x)e^(∫p(x)dx)+c)

Answer 2

y'-y=x
特征方程
r-1=0
齐次特解y=Ce^x
观察得非齐次特解是y=-x-1
因此通解是
y=Ce^x-x-1