第1个回答 2022-06-30
引理：设 , 是数域P上的两个非零多项式,它们的系数 不全为零,f(x)与g(x)在P[x]中有非常数的公因式的充要条件为在P[x]中存在非零的次数小于m的多项式u(x)与次数小于n的多项式v(x)使得
证明：
令 ,
等式 左右两端对应系数相等
即
上式为一个关于未知量 的含有m+n个未知量,m+n个方程的齐次线性方程组,由引理可知该方程组有非零解
齐次线性方程组由非零解充要条件为系数矩阵的行列式等于零
将方程组系数矩阵行列互换,再将后边的n行反号,取行列式可得
对任意多项式(可以为零多项式)
,
称上述行列式为它们的结式,记作
定理：给定P[x]中两个多项式 , , ,它们的结式 的充要条件是 在P[x]中有非常数的公因式或它们的第一个系数 全为零
证明：
注：P是复数域时,两个多项式有非常数公因式与有公共根一致,因此对复数域上多项式f(x),g(x),R(f,g)=0的充要条件为f(x),g(x)在复数域中有公共根或它们的第一个系数全为零
给定两个复系数的二元多项式, ,求方程组 在复数域中的全部解
可写成
其中, 是y的多项式,把 看作x的多项式
令
为一个y的复系数多项式
定理：若 是方程组的一个复数解,则 为 的一个根,若 是 的一个复根,则 或存在一个复数 使 是方程组的一个解
为了解方程组,先求高次方程 的全部根,再将每个根代入方程组求x的值,即可得方程组全部解
例：解方程组
解：