已知函数f（x）=lnx-ax+a（a∈R），g（x）=x2+2x+m（x＜0）...

Question

已知函数f（x）=lnx-ax+a（a∈R），g（x）=x2+2x+m（x＜0）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若a=0，函数y=f（x）在A（2，f（2））处的切线与函数y=g（x）相切于B（x0，g（x0）），求实数m的值．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=lnx-ax+a（a∈R），
∴f′(x)=1-axx，x＞0，
若a≤0，则f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
若a＞0，则当x∈(0，1a)时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1a）上单调递增，当x∈（1a，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在∈（1a，+∞）上单调递减；
（2）当a=0时，f（x）=lnx，f′（x）=1x，
∴f′（2）=12，
∴函数y=f（x）在A（2，f（2））处的切线方程为y=12(x-2)+ln2，
又函数y=g（x）在B（x0，g（x0））处的切线方程为y=(2x0+2)(x-x0)+x02+2x0+m，
整理得y=(2x0+2)x-x02+m，
由已知得12=2(x0+1)ln2-1=-x02+m，
解得x0=-34，m=-716+ln2．