关于微分的概念以及与积分，不定积分的关系

Question

如题所述

Answer 1

在数学中，微分是对函数的局部变化率的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。
　设函数y
=
f(x)在x0的邻域内有定义，x0及x0
+
Δx在此区间内。如果函数的增量Δy
=
f(x0
+
Δx)
-
f(x0)可表示为
Δy
=
AΔx
+
o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小，注：o读作奥密克戎，希腊字母,那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy
=
AΔx。函数的微分是函数增量的主要部分，且是Δx的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→0）。
　　通常把自变量x的增量
Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx
=
Δx。于是函数y
=
f(x)的微分又可记作dy
=
f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。
　　当自变量X改变为X+△X时，相应地函数值由f(X)改变为f(X+△X)，如果存在一个与△X无关的常数A，使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差是△X→0关于△X的高阶无穷小量，则称A·△X是f(X)在X的微分，记为dy，并称f(X)在X可微。一元微积分中，可微可导等价。记A·△X=dy，则dy=f′(X)dX。例如：d(sinX)=cosXdX。
　　微分概念是在解决直与曲的矛盾中产生的，在微小局部可以用直线去微分近似替代曲线，它的直接应用就是函数的线性化。微分具有双重意义：它表示一个微小的量，因此就可以把线性函数的数值计算结果作为本来函数的数值近似值，这就是运用微分方法进行近似计算的基本思想。