高等数学证明数列收敛和求出极限

Question

设a1=1,当n>=1时,a(n+1)=(an/1+an)^1/2，证明数列收敛并且求出其极限。

Answer 1

a1=1
a2=√(1/(1+1))=√2/2<a1
你说是递增还是递减。
不能用函数导数来解释数列。
可用数学归纳法来证明这个数列是递减的即证a(n+1)<an。再证明这个数列有下界即证an≥(√5-1)/2
然后设liman=A 则lima(n+1)=A
代入a(n+1)=(an/(1+an))^1/2
求出A

Answer 2

a(n+1)=[an/(1+an)]^(1/2)
|an| > 0
{an} 递减
=> lim(n->∞)an exists
lim(n->∞)a(n+1)=lim(n->∞)[an/(1+an)]^(1/2)
L= (L/(1+L))^(1/2)
L^2(1+L) = L
L(L^2+L -1) =0
L = (-1+√5)/2

lim(n->∞)an =L =(-1+√5)/2追问

不对啊 令f(x)=(x/1+x)^1/2求导后是恒大于0的函数，单调递增啊。 怎么能递减你做的没问题？

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