矩阵可逆，则其逆矩阵必可逆吗？

Question

如题所述

Answer 1

若A, B为同阶方阵, 则由 "AB可逆" 可推出 "BA可逆".
事实上, 由"AB可逆" 可推出 "|AB|不等于0" 进而有 "|BA| = |B|*|A| = |A|*|B| = |AB| 不等于0", 因此"BA可逆".
当A, B不是同阶方阵时, 由"AB可逆" 推不出 "BA可逆".
例如：
A =
[1 0 0
0 1 0],
B =
[1 0
0 1
0 0],
则AB =
[1 0
0 1]
可逆, 但
BA =
[1 0 0
0 1 0
0 0 0]
不可逆.

注意：当A, B为同阶方阵时, 行列式公式"|AB| = |A|*|B|"成立;
当A, B不是同阶方阵时, 例如上面的例子中A是2行3列的矩阵, B是3行2列的矩阵, 尽管AB和BA都是方阵, |AB|和|BA|都有意义, 但是A和B都不是方阵, 因而|A|和|B|无意义, 可见公式"|AB| = |A|*|B|"不是对任意矩阵都成立的。
参考文献：
张小向，陈建龙：《线性代数学习指导》ISBN：9787030211774，科学出版社，2008年3月第1版。
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