在ΔABC中，设a,b,c是ΔABC的三边长，s,r分别是ΔABC的半周长和内切圆半径。

Question

如题所述

Answer 1

题目有问题啊!
题
在ΔABC中，a,b,c是三边长，s,r分别是ΔABC的半周长和内切圆半径。
求证:
a*b*c*A*B*C≥(2π/3)^3*r*Δ
。
证明
设R为ΔABC的外接圆半径，据三角形恒等式:
abc/(r^2*s)=4Rsr/r^2*s=4Rs/rs
=2(sinA+sinB+sinC)/(sinA*sinB*sinC)
=1/[sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)]。
所以得:
abc*ABC/(r^2*s)=8(A/2)*(B/2)*(C/2)/[sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)]，
对凹函数f(x)=x/sinx,利用Jensen不等式得:
(A/2)*(B/2)*(C/2)/[sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)]≥(π/3)^3，
故得:abc*ABC≥(2π/3)^3*r^2*s。证毕。