【n维向量】28、相关性判定原理4和5的证明

Question

如题所述

Answer 1

1、 为何值时，向量组 线性相关？

解：

时， 线性相关

2、叙述定理1—定理5。
见 27、相关性的判定原理

3、证明定理4与定理5。
详见该文

m个n维向量 线性相关的充要条件是由 构成的矩阵

的秩

证明证明4.
线性相关，由定理1知，必有某个问量（不妨设 ）可由其余m-1个向量线性表示，即 写成分量形式为

用A做初等变换：
第一行乘 ，第m-1行乘 ,除最后一行全部这样处理，并都加到最后一行，最后一行化为零。

不妨设 且A的最左上角的r阶子式 考虑A的r+1阶子式

将 按最后一列展开，有：

按向量形式写，上式为：

线性相关，从而 线性相关。

若m个r维向量 线性无关，则对应的m个r+1维向量 也线性无关。

证明：设

线性无关。

五个定理和五个推论要熟记，并会应用。