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线性无关的充要条件是行列式不为零
A是mxn矩阵,非齐次方程AX=b有唯一解的必要
条件是
???
答:
由于是一个非方阵的方程,我们就不从
行列式
的角度讨论了。考虑非齐次方程的通解
等于
特解与齐次方程通解的
线性
组合。所以有唯一解
的充要条件是
1有特解 2齐次方程仅有0解 其中任一个均为必要条件。有特解
的充要条件为
b向量在A的列空间中,题目未提到 而齐次方程仅有0解的充要条件则是高斯消元后无...
矩阵
行列式
与
线性相关的
问题
答:
是无关的
。假设
行列式
A有某两列
线性相关
。由行列式基本性质,无妨设第一列和第二列线性相关(差常数倍),又由行列式的可提公因子,无妨设这两列相等。把行列式按第一列展开和第二列展开(为代数余子式),则系数相同,符号相反,从而互为相反数。即有A的行列式|A| = -|A|,从而|A| = 0。
若n阶方阵A的
行列式
|A|≠0,则a可称
为
非退化矩阵吗?
答:
n阶方阵的
行列式
丨A丨≠0说明矩阵A各行、各列
线性无关
,A的秩
等于
n。都
是
A具有的“性质”。结论:若 r(A)=n, 则 r(A*)=n 若 r(A)=n-1, 则 r(A*)=1 若 r(A)<n-1, 则 r(A*)=0 因为|A|=0, 所以 r(A)<n 又因为 A*≠0, 所以 r(A*)≠0, 所以 r(A)>=n-1 ...
求证:实对称正定矩阵的
行列式不
大于它对角元素的乘积
答:
顾一下本文将用到的有关实对称矩阵的一些结论:性质1: 一个实对称矩阵A正定
的充要条件是
存在可逆方 阵C, 使得A=C′C。性质2: 一个实对称矩阵A半正定的充要条件是它的所有 主子式都大于
等于零
。性质3: 一个实对称矩阵A负定( 半负定) 的充要条件是- A 为正定( 半正定) 。性质4: n维欧氏...
属于同一个特征值的特征向量
是线性相关的
还是
线性无关的
?
答:
对于任一向量组而言,
不是线性无关的
就是
线性相关的
。向量组只包含一个向量a时,a
为0
向量,则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关。若向量组所包含向量个数等于分量个数时,判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的行列式是否为零。若
行列式为零
,则向量组线性相关;否则是线性无关的。
行列式
等价能得到什么?
答:
行列式
等价能得到同型矩阵秩相等。行列式等价能
的充要条件是
同型矩阵且秩相等,相似必定等价,等价不一定相似,两矩阵等价,秩相等,列向量,行向量极大
线性无关
组数相等。根据矩阵等价的充要条件,两个矩阵有相同的秩,可知n阶方阵A与单位方阵E等价的充要条件是:A秩=E秩=n。也就是说A可以通过有限...
线性
方程组有解
的条件
答:
R(A)=R(AB)=n是非其次方程组有解的充要条件,齐次方程组有唯一零解
的充要条件是
系数
行列式
的值为0
不为0
就有无穷多解。
线性
方程组 线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组(例如2元1次方程组)。对线性方程组的研究,中国比欧洲至少早1500年,记载在公元初《九章算术》方程章中。
线性相关是不是
向量个数大于维数
答:
因为以a,b,c,d列向量组成的矩阵是3行4列的,秩至多是3<4=向量个数,所以向量组
线性相关
。判除了用定义之外,用秩判断线性相关时,就是看秩是
不是
小于向量个数,小于就线性相关,等于就
线性无关
。理由如下:因为用定义判断的话,就是看齐次线性方程组(a1,a2,...,an)x=
0
是不是有非零解,...
n阶矩阵能
等于0的充
分
条件
可以用行阶梯形矩阵代替吗?
答:
可以。在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的
线性独立的
纵列的极大数目。类似地,行秩是A的
线性无关的
横行的极大数目。即如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量,秩就是这些行向量或者列向量的秩,也就是极大无关组中所含向量的个数。A=(aij)m×n的
不为零
的子式的最大阶数称为矩阵A的秩,记作...
矩阵特征值与矩阵可逆性的关系
答:
因为矩阵的
行列式等于
所有特征值的乘积,而矩阵可逆
的充要条件是行列式不等于0
,所以矩阵可逆的充要条件是所有特征值都不等于0。设 A 是n阶方阵,如果存在数m和非零n维列向量 x,使得 Ax=mx 成立,则称 m 是矩阵A的一个特征值(characteristic value)或本征值(eigenvalue)。设A是n阶方阵,如果数...
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