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可逆矩阵性质的证明
如何
证明
n阶希尔伯特
矩阵可逆
?貌似用科学归纳法,提示给的高斯消元法...
答:
有a_ij = (x^(i-1),x^(j-1)) = ∫{0,1} x^(i-1)·x^(j-1)dx = ∫{0,1} x^(i+j-2)dx = 1/(i+j-1).因此A就是n阶Hilbert矩阵.而内积的度量矩阵总是正定矩阵, 因此也是
可逆的
, 即得Hilbert
矩阵可逆
.其实数学归纳法也是可行的, 但是有一定技巧性, 以n = 4为例:1...
证明矩阵
是否
可逆的
问题 在线等
答:
只有这么少的条件,由A
可逆
无法判断A+3I是否可逆,例如A=-3I,可逆,但是A+3I=0,不可逆,若A=3I,则A+3I=6I可逆
...矩阵A是正定
矩阵的
充分必要条件是存在
可逆矩阵
P,使A=PTP
答:
A正定,则存在正交阵Q和对角元全是正数的对角阵D,使得A=Q^TDQ,记C是对角元是D的对角元的平方根的对角阵,即D=C^2=C^TC,于是A=Q^TC^TCQ,P=CQ是
可逆
阵。反之,A=P^TP,则任意的非零向量x,有Px非零,于是x^TAx=x^TP^TPx=(Px)^T(Px)=||Px||^2>0,满足正定定义。
矩阵的逆
的行列式是什么?
答:
矩阵的
逆的行列式等于原矩阵的行列式的倒数。假设 A 是一个
可逆矩阵
,其逆表示为 A^-1。对于任意一个 n 阶矩阵 A,其行列式记作 det(A)。那么有以下关系:det(A^-1) = 1/det(A)这个关系可以通过线性代数的
性质证明
:如果 A 是一个可逆矩阵,则存在一个矩阵 B,使得 AB = BA = I,其中...
正交矩阵一定是
可逆矩阵
吗
答:
2、
可逆矩阵
则是指存在一个矩阵,与原矩阵相乘后得到的是一个单位
矩阵的
矩阵。换句话说,如果一个矩阵A满足存在一个矩阵B,使得AB=I,那么我们就称A为可逆矩阵,其中I是单位矩阵。3、
证明
如下:假设A是一个n阶正交矩阵,那么根据正交矩阵的定义,我们有A^T=A^-1。由于A是n阶方阵,所以A^T和A...
证明
有限个n阶
可逆矩阵
乘积可逆,即A,B均为n阶可逆矩阵,则AB为可逆矩...
答:
A,B
可逆
,说明秩都为n,则A可以通过一系列初等行变换,变成E 即,存在在一堆初等阵P1,...,Pn,使得 A=P1P2..Pn 所以AB=P1P2..PnB 就是说AB结果是对B进行了一系列初等变换得到的 初等变换是不改变
矩阵的
秩的。所以AB的秩还为B的秩n 所以可逆。
证明
A为正定
矩阵的
充要条件是存在
可逆矩阵
U,使A=U'U
答:
如果A=U'U,则A'=(U'U)'=U'U=A,故A是对称的,对任意非零x,由U
可逆
,Ux也非零,由 x'Ax=x'U'Ux=(Ux)'(Ux)>0,故A是正定
矩阵
。充分性得证。如果A为对称正定矩阵,则它可以进行LL'分解,即存在下三角阵L使得A=LL',令U=L',即得A=U'U,必要性得证。
证明
A B中有一个
可逆矩阵
,若A可逆,则R(AB)=R(B)=R(BA) 前面一步可以...
答:
A
可逆
等价于A'(A的转置)可逆,在证完第一个等式成立的时候:所以R(BA)=R((BA)')=R(A'B')=R(B')=R(B)
为什么
矩阵的
转置与
逆矩阵
是两个不同的概念?
答:
2、两者的基本
性质
不同:(1)矩阵转置的基本性质:(A±B)T=AT±BT;(A×B)T= BT×AT;(AT)T=A;(KA)T=KA。(2)逆矩阵的基本性质:
可逆矩阵
一定是方阵。如果矩阵A是可逆的,其逆矩阵是唯一的。A的
逆矩阵的逆矩阵
还是A。记作(A-1)-1=A。可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆,并且(AT)...
...3A-2E=0,
证明
A是
可逆矩阵
,并求出其可逆矩阵
答:
A²-3A-2E=0 => A(A-3E)=2E => A[(A-3E)/2]=E 所以A是
可逆矩阵
,且其逆矩阵为 (A-3E)/2
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