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半正定矩阵的相似矩阵
怎样证明所求矩阵是一个
半正定矩阵
答:
首先它是对称阵,然后验证它的顺序主子式都大于或等于0,就说明它是
半正定矩阵
。
设A为实对称矩阵,且A2=E.证明:A+E是
半正定
或
正定矩阵
.
答:
【答案】:证法1 由A2=E及A为实对称矩阵知,A的特征值只能是±1,因此A+E的特征值只能是2或0,故A+E是
半正定矩阵
(因A+E的特征值全非负)或正定矩阵(当A+E的特征值全为2时).证法2 设A的最小特征值为λ1,则λ1≥-1,于是由瑞利原理,对任意x≠0,有xTAx≥λ1xTx.所以对任意x≠...
一个
矩阵
和它的转制相乘等于一个已知矩阵,求原矩阵怎么求
答:
是实数域上的矩阵吧。A^TA是一个
半正定矩阵
,对A^TA进行正交
相似
变换U(U为正交矩阵满足)U^TA^TAU=diag(a_1^2,a_2^2,...,a_n^2,)只要X=Udiag(a_1,a_2...,a_n)V即可 (V为任意正交矩阵)方法2:初等变换法:(受电灯剑客启发)对(A^TA \\ E)进行初等列变换,每进行...
半正定矩阵的
秩为什么小于n
答:
正惯性指数小于n。
半正定矩阵的
秩等于正惯性指数,若秩正惯性指数等于n,则说明矩阵是是正定,与半正定的的假设矛盾。
什么是
正定矩阵
,正交矩阵
答:
在线性代数里,正定矩阵 (positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。在线性代数中,
正定矩阵的
性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式(复域中则对应埃尔米特正定双线性形式)。如果AAT=E(E为单位矩阵,AT表示“矩阵A的转置矩阵”)或ATA=E,则n阶实矩阵A称为...
一个
矩阵的相似矩阵正定
,这个矩阵正定么?
答:
不一定正定,因为他不一定是实对称阵。如果是实对称阵就一定正定,因为
相似矩阵有
相同的特征值,若
相似矩阵正定
,他们的特征值都大于零,所以这个矩阵一定正定。
A为n阶实对称矩阵,A^2=I,证明A+I为正定矩阵或
半正定矩阵
答:
下图说明由A^2=I可得出出A的特征值只能是±1(图中的E就是单位阵I),从而A+I的特征值只能是2或0,即A+I正定或
半正定
。
A,B均为n阶实对称矩阵,且A是正定矩阵,B 为
半正定矩阵
,且B不等于0,证明...
答:
最后注意到等号成立需要对i = 1, 2,..., n都有(T_i)'BT_i = 0. ∴T'BT是对角元全为0的
半正定矩阵
.又∵半正定矩阵特征值非负, 特征值之和等于对角元之和.∴T'BT只有0特征值, 又其可对角化, ∴B
相似
于零矩阵, 只有B = 0. 与条件B ≠ 0矛盾.故等号不能取得, 即有|A+B| >...
证明
负定矩阵的
主对角元必须全部小于零
答:
可用
矩阵负定
的定义如图证明主对角元为负。分别取向量 xi=(0,…bai…0,1,0,……,0)^T,第i个取1,其余取零。A正定,可得 xi^TAxi=aii>0 也就说A的主对角元一定非负
半正定矩阵
A的每行每列的最大元必然在主对角线上,证明的话对A作平方根分解即可。此外利用Cauchy不等式还可以得到,如果...
正定矩阵
都可以和对角阵
相似
吗?
答:
在有理数范围内,
正定矩阵
不一定能够通过
相似
变换对角化,例如这样一个2阶矩阵:对角线上一个 1 一个 2,非对角线上都是 1。在实数范围内,一定可以,而且可以通过正交矩阵实现对角化。
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