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判断一个矩阵是否为半正定矩阵
如何证明
正定矩阵
一定可以拆分成
一个
可逆矩阵乘以它的转置
答:
正定矩阵的分解不仅适用于此,
半正定矩阵
同样适用,尽管半正定矩阵的可逆性受限。正定矩阵的另一分解方法是Choleskey分解。此方法产生
一个
满秩上三角矩阵,使原正定矩阵成为该上三角矩阵与其转置的乘积。正定矩阵的Choleskey分解说明,通过简单的行与列变换,可以将其化为对角形式,无需进行置换操作。对于下...
...A'代表其转置,那么A‘A是对称
矩阵
,它
是正定
的吗
答:
A'A
正定
的充要条件是A满秩,即rank(A)=n 证明:(充分性)假设A满秩,那么 Ax=0 ==> x=0;假设存在x使得x'A'Ax=0,则有Ax=0,==> x=0;由定义,A'A正定。(必要性)假设A'A正定,那么x'A'Ax=0 ==> x=0;假设A不满秩,则存在x0≠0使得Ax0=0,==> x0'A'Ax0=0 与...
半正定矩阵
与正定矩阵的和的秩是正定的吗
答:
半正定矩阵
与正定矩阵的和一定是正定阵,从而半正定矩阵与正定矩阵的和是满秩阵,即秩等于矩阵的阶数。
半正定矩阵
根据中心流形定理都能变成正定矩阵吗?
答:
半正定矩阵
根据中心流形定理都能变成正定矩阵
...为存在
一个
n阶实矩阵B,使AB+B转置乘A
为正定矩阵
答:
构造法:现在构造这样
一个矩阵
F,F为n阶对角阵,其第i个对角元:F(i)=1/D(i);这样DF=E为单位矩阵。我们已知A=PDP',现在令B=PFP'。则AB+B'A=(PDP')(PFP')+(PFP')'(PDP')=2PDFP'=2PP'=2E,显然
为正定矩阵
。充分性:已知存在n阶实矩阵B使得AB+B'A为正定矩阵。注意到AB+...
A
是正定矩阵
经过不带行交换的高斯顺序消去一步后,A化为 a11 a1T<...
答:
Gauss消去法其实得到的是LA 做
一个
对称的列消去LAL^T之后A_2块不变 然后就能用
正定
性的定义去证明
正定矩阵和
半正定矩阵
的转化
答:
不存在,注意到X是可逆阵
半正定矩阵
的对角元素
是不是
一定非负?
答:
是的,因为
1
阶顺序主子式非负,说明首行首列元素非负,对角线上其他元素可通过初等变化移至首行首列,不改变
矩阵
性质,仍然是非
正定
的.因此对角线上所有元素均为非负.
证明
一个
N阶实对称
矩阵
A
是正定
的当且仅当存在可逆实对称矩阵B,满足A=...
答:
√a1,…√an), 取B=T^(-
1
)QT即可!若A=B^2, B实对称,类似上面的思路,存在正交
矩阵
T, B=T^(-1)RT, 其中R=diag(b1,…bn)为B的标准型. B可逆=>bi≠0. 因此A=B^2=T^(-1)ST, 其中S=diag((b1)²,…(bn)²)为A的标准型。(bi)²>0, 所以A
是正定
的....
设A为n阶
正定矩阵
,x为任意
一个
n维实向量,证明不等式0
答:
0 是可以取到的,除非要求 x 非零 非负这部分显然,只要知道
正定矩阵
的逆也正定即可 小于
1
这部分可以用 Shermann-Morrison 公式:(A+xx')^{-1} = A^{-1} - A^{-1}xx'A^{-1}/(1+x'A^{-1}x)再令 y=x'A^{-1}x,那么 x'(A+xx')^{-1}x = y/(1+y) < 1 ...
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