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证明矩阵条件数大于等于1
条件数
的定义
答:
条件数
定义为:
矩阵
的范数,乘以矩阵的逆矩阵的范数。从线性代数的分析可知,
矩阵的条件数
总
是大于1
.正交矩阵的
条件数等于1
,奇异矩阵的条件数为无穷大,而病态矩阵的条件数则为比较大的数据。根据条件数的定义,线性代数方程的相对误差可以通过以下的不等式来分析:
清华大学的数值分析上说
条件数
>>
1
时,
矩阵
是病态的。那他是怎么
证明
的...
答:
这个不是
证明
的,只是定义而已。当然前提是你知道任何相容范数定义的
条件数
都不小于1。
一
个
矩阵
的
条件数
为
1
代表什么?
答:
如果是方阵在2-范数下的
条件数
,那么cond(A)=1 <=> A是某个酉阵的非零常数倍 粗略地讲,条件数越大说明这个矩阵越接近于一个奇异矩阵
什么是病态线性方程组
答:
解线性代数方程组Ax=b,若A的
条件数
(MATLAB中用cond(A)求A的条件数)很大,意味着原始数据A,b变化微小,也有可能引起解的极大变化,此时称方程组是病态的。条件数是永远
大于等于1
。条件数很大时,线性代数方程组有可能是病态的。条件数等于A的2范数乘以A逆的2范数。Hilbert
矩阵
是非常著名的对称正定...
1条件数
怎么求
答:
condA=A乘A-1。
条件数
是数值分析中,一个数值问题的条件数是该数量在数值计算中的容易程度的衡量,也就是该问题的适定性,1条件数的计算方式为condA=A乘A-1。条件数定义为矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆的范数的乘积,对应矩阵的3种范数,相应地可以定义3种条件数。
矩阵
的
条件数
在多大范围内时,它才是良态的?如何才能
证明
?
答:
这个没什么具体标准的,况且条件数和范数有关,虽然有范数等价定理,不同的范数得到的条件数还是会有一定波动,比如1-范数下正交阵的条件数一般
大于1
。如果一定要给个范围,那么习惯上可以用机器精度的一半来衡量,比如双精度浮点数的精度大约是10^{-16},那么
条件数大于
10^8就算比较坏了。
矩阵
的
条件数
答:
条件数
具有如下性质:(1)任何非奇异
矩阵
A,都有cond(A)≥1,cond(A)=‖A‖·‖A-1‖≥‖A-1 A‖=1;(2)设A为非奇异阵,并且c≠0(常数),则cond(cA)=cond(A);(3)如果A为正交矩阵,则cond(A)2=1;(4)若A为非奇异矩阵,R为正交矩阵,则cond(RA)2=cond(...
如何
证明矩阵
的
条件数
满足下面这个等式
答:
因为分子等于||A||, 分母
等于1
/||A^{-1}||
条件数
的举例
答:
比如线性方程组〔
1
2 [x = [4 3.999 1] y] 7.999] 的解是(x,y)=(2,1), 而 〔1 2 [x = [4.001 3.999 1] y] 7.998] 的解是(x,y)=(-3.999,4.000)可见b很小的扰动就引起了x很大的变化,这就是A
矩阵条件数
大的表现。一个极端的例子,当A奇异时,条件...
正交
矩阵
的特征值一定是1吗?
答:
一定
等于1
或-1。
证明
如下:设λ是正交
矩阵
A的特征值,x是A的属于特征值λ的特征向量,即有 Ax = λx,且 x≠0。两边取转置,得 x^TA^T = λx^T 所以 x^TA^TAX = λ^2x^Tx,因为A是正交矩阵,所以 A^TA=E,所以 x^Tx = λ^2x^Tx,由 x≠0 知 x^Tx 是一个非零的数,故 λ...
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