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秩相同的矩阵同解吗
为什么
矩阵秩
的
相等
是判断两方程组是否
同解
的关键?
答:
在线性代数的世界里,一个重要的概念就是方程组的
同解
性,它与
矩阵的
秩有着不解之缘。秩,实质上是矩阵线性无关的行或列向量的数目,而同解方程组则意味着找到一组解,无论变换如何,都能同时满足所有方程。现在,让我们深入剖析,为什么三
秩相等
会成为判断两个方程组是否同解的关键指标。首先,我们...
关于充分必要条件,比如
同解
的必要条件是
秩相等
,那就是意思是秩相等可以...
答:
对。从同解可以推得秩相同
。矩阵等价的定义:若存在可逆矩阵P、Q,使PAQ=B,则A与B等价。所谓矩阵A与矩阵B等价,即A经过初等变换可得到B。两个线性方程组Ax=0与Bx=0同解,x是n维列向量解相同,所以可以有相同的极大无关组,也就是有相同的基础解系,基础解系所含的向量个数也是一样的但是Ax=...
矩阵
A和B的
秩相同
能否推出Ax=0与Bx=0
同解
?为什么?
答:
不行,比如:A= 1 0 0 0 B= 0 1 0 0 ker(A')和ker(AA')有包含关系,所以只要看维数就行了,ker的维数和秩有直接联系。两个
矩阵秩相同
不可以说明两个矩阵等价。矩阵秩相同只是两个矩阵等价的必要条件;两个矩阵秩相同可以说明两个矩阵等价的前提是必须有
相同的
行数和列数,即同型。A,B...
系数
矩阵的秩相同
则线性方程组
同解
对吗
答:
不对,
秩相同
只能代表两个
矩阵
合同,但是具体元素之间的关系并没有表明
两同型
矩阵
,行
秩相等
,它们推出的齐次线性方程组,
同解吗
?
答:
不能.齐次线性方程组
同解
的充要条件是它们的行向量组等价 行
秩相同
并不一定行向量组等价
如何证明
矩阵秩相同
?
答:
两个矩阵对应的齐次方程组
同解
就说明两个
矩阵秩
一定
相同
。齐次线性方程组指的是常数项全部为零的线性方程组。如果m<n(行数小于列数,即未知数的数量大于所给方程组数),则齐次线性方程组有非零解,否则为全零解。对齐次线性方程组:系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后,不全为零的行数r(即...
若
矩阵
A B不同型但
秩相等
,那么它们等价吗?若其不同型但都行满秩能推出...
答:
两个都不能。你可以把
矩阵
当做解方程组来看。两个方程组有用的方程个数一样,能算出来
解一样吗
?显然是不对的
两
矩阵同秩
是不是说它们的秩一定
相同
答:
两
矩阵同秩
,其行秩或列秩当然也是
相同的
。常用相关结论:如果矩阵A经过初等行变换化成B,那么A的列向量组与B的列向量组具有相同的线性相关性。因为由条件,有可逆矩阵P,使得B=PA,从而显然,线性方程组Ax=0与线性方程组Bx=0是
同解
的。从而A的列向量组与B的列向量组 线性关系一致,线性相关性...
为什么
矩阵的秩相等
?
答:
设 A是 m*n
的矩阵
。1,首先Ax=0 是 A'Ax=0 的解。2,A'Ax=0 → 两边同乘以x'则有x'A'Ax=0 → (Ax)' Ax=0 →Ax=0 故两个方程是
同解
的。根据同解的定理,他们两个的秩就
相等
。证A乘以A的转置的秩等于A的
秩同
理。在数学中,矩阵(Matrix)是一个按照长方阵列排列的复数或实数...
不会的请勿回答,
同解
齐次线性方程组的
秩
一定
相等吗
答:
同解
线性方程组的系数
矩阵的秩
一定相同。因为Ax=0的基础解系有n-r(A)个向量,而Bx=0的基础解系有n-r(B)个向量,若两者同解,则有
相同的
基础解系,从而n-r(A)=n-r(B),所以r(A)=r(B)。
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