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有限覆盖定理证明一致连续
用
有限覆盖定理证明
有界闭区域上连续函数一定
一致连续
答:
证明
如下图:
有限覆盖定理
是一个有用而且重要的定理.它是数学分析处理问题的一种重要方法,在数学各领域中都有广泛的应用.有限覆盖定理的作用是从覆盖闭区间的无限个开区间中能选出有限个开区间也覆盖这个闭区间.由“无限转化为有限”是质的变化,它对证明函数的某些性质提供了新的数学方法。
函数
连续
的条件是什么?
答:
所谓
一致连续
是指,对任意ε>0(无论其多么小),总存在正数δ,当区间I上任意两个数x1、x2满足|x1-x2|<δ时,有|f(x1)-f(x2)|<ε,就称f(x)在I上是一致连续的。
证明
:利用
有限覆盖定理
:如果H是闭区间[a,b]的一个无限开覆盖,那么能从H中选择有限个开区间来覆盖[a,b]。详细证法...
如何
证明
:定义在紧集上的连续实值函数
一致连续
答:
你好好分析数学分析中用
有限覆盖定理证明
[a,b]上的连续函数是
一致连续
的,如果搞清楚了那个证明,照着翻译到紧集上即可,
如何
证明
闭区间上的连续函数
一致连续
答:
对每个x,都能如上找到对应的开邻域,这些开邻域
覆盖
整个闭区间[a,b],由于[a,b]是紧集,存在
有限
开覆盖(x1-dx1,x1+dx1)...(xn-dxn,xn+dxn),令d=min(dx1...dxn),则对任意[a,b]中的x,只要y属于[a,b]且在(x-d,x+d)内,就有|f(y)-f(x)|<e,所以一致连续。
在
一致连续定理
中,为什么在开区间上就不一致连续,而在闭区间上就可以...
答:
这个定理的实质是对于这个区间我们可以统一地用一个ε来控制每点附近δ范围内的振幅。定理的
证明
你可以用
有限覆盖定理
来证,比较能反映本质。一点处的连续性反映的是这点的邻域的性质,是局部性质,而
一致连续
性则反映的是定义在整个区间上函数的性质,是整体性质。所以一致连续性与定义域的拓扑性质有直接...
康托
定理
答:
接下来,我们将构造一个巧妙的
证明
。首先,我们可以构造一个开覆盖,每个开区间 (x_i - δ_i, x_i + δ_i) 都包含在 [a, b] 之内,其中 0 < δ_i < min(δ, (b-a)/n),这样保证了有限个区间能覆盖整个区间。这里,数列 {δ_i} 的选择,利用了
有限覆盖定理
的一个精妙结论,即...
证明
:
一致连续
的连续闭区间的并集也一致连续
答:
证明
:因为任给e>0,由
连续
函数定义,对任意[a,b]中的x,有相应的dx>0 只要y属于[a,b]且在(x-dx,x+dx)内,就有|f(y)-f(x)|对每个x,都能如上找到对应的开邻域,这些开邻域
覆盖
整个闭区间[a,b],由于[a,b]是紧集,存在
有限
开覆盖(x1-dx1,x1+dx1)...(xn-dxn,xn+dxn) 令d=min(dx1...
函数连续性和
一致连续
性有什么区别?为什么函数f(x)在闭区间上连续,就在...
答:
区别:推导概念不同。f(x)在闭区间[a,b]上连续则
一致连续
,数学分析教程上都有
证明
,一般用
有限覆盖定理
或反证法。如果所述命题成立,则闭区间上的连续函数就是可导函数。如f(x)=|x|在[-1,1]连续,但在x=0不可导。连续是考察函数在一个点的性质。而一致连续是考察函数在一个区间的性质。所以...
连续
函数在闭区间上的最大最小值
定理证明
。
答:
闭区间上的
连续
函数,必然有最大值和最小值。这是有
定理
的。开区间(含半开区间)上的连续函数就不一定有最大值和最小值了。区间内的非连续函数也不一定有最大值和最小值。函数y=f(x)当自变量x的变化很小时,所引起的因变量y的变化也很小。例如,气温随时间变化,只要时间变化很小,气温的...
海涅
定理
和归结原则
答:
1、阐述了一致收敛的概念,
证明
了连续函数的一致收敛定理。2、独立发现并利用了海涅定理(1895年,波莱尔证明了
有限覆盖定理
,这就是著名的波莱尔覆盖定理。由于海因里希·爱德华·海涅在关于
一致连续
的证明中也利用了这个性质,所以这个定理也有人称之为海涅-波莱尔定理),建立了沟通数列极限与函数极限的桥梁...
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