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一阶非线性偏微分方程求解
偏微分方程
(十三)——
一阶非线性
PDE完全积分与包络
答:
一、完全积分的奥秘我们定义一个函数 为
一阶非线性
PDE的完全积分,当它满足条件:对于任意参数 ,对于每个t有u(x, t) = G(x, t, φ(t))且φ(t)是PDE的解。以下是几个关键例子:Clairaut
方程
: ∂²u/∂x∂t = f(x, u),通过已知的f,我们可以找到其完全积分。
1阶偏微分方程求解
答:
最简单的一类偏微分方程。一个未知函数u(x)=u(x1,x2,…, xn)所适合的一组
一阶偏微分方程
即 , (1)式中(Rn之开集),u是实值函数,。适合(1)的函数u称为其解。单个拟
线性方程
(2)是式(1)的重要特例。解u=u(x)定义了D×R中一个曲面,称为(1)的积分曲面,是其上一点(x,u)处的法...
偏微分方程
的
求解
方法有哪些呢?
答:
可分为两大方面:解析解法和数值解法
。其中只有很少一部分偏微分方程能求得解析解,所以实际应用中,多求数值解。数值解法又可以分为最常见的有三种:
差分法、有限体积法、有限元法
。其中,差分法是最普遍最通用的方法。
非线性偏微分方程
难吗
答:
难。
求解非线性偏微分方程
比求解线性偏微分方程,难度大的多,大多数非线性偏微分方程只能依靠数值解法,非常困难和复杂。非线性偏微分方程(NPDE) 又称非线性数学物理方程又称非线性演化方程。
什么叫
偏微分方程
的线性和
非线性
?
答:
设:
偏微分方程
中的变量是x(可代表多个变量),待求函数是y=y(x)、z=z(x)等,abcd为常数.
线性
是指微分方程中的待求函数及其各
阶
导数(含它们与常数之积)以线性运算方式(加、减)的形态呈现——方程中只包含y、z等及其各阶导数的一次幂项,或含这些一次幂项与x的各种运算组合构成的混合项.如...
微分方程
的解有哪些形式?
答:
1、根据未知函数的个数和阶数,微分方程可以分为常微分方程(Ordinary Differential Equation,ODE)和
偏微分方程
(Partial Differential Equation,PDE)。常微分方程仅含有一个未知函数,而偏微分方程则含有两个或更多的未知函数。2、根据未知函数及其导数的最高阶数,微分方程的阶数可以分为零阶、
一阶
、二...
微分方程
的相关知识有哪些?
答:
1.分类:微分方程可以分为常微分方程和
偏微分方程
两大类。常微分方程主要研究一元函数的导数或者几个自变量的函数的导数之间的关系;偏微分方程则研究多元函数的偏导数之间的关系。2.阶数:根据微分方程中最高阶导数的阶数,微分方程可以分为
一阶
、二阶、三阶等。3.线性与
非线性
:如果一个微分方程可以...
如何判断
偏微分方程
是线性还是
非线性
的
答:
对于
一阶微分方程
,形如:y'+p(x)y+q(x)=0的称为"
线性
"例如:y'=sin(x)y是线性的 但y'=y^2不是线性的
微分方程
的分类
答:
未知函数是多元函数的叫做
偏微分方程
。微分方程有时也简称方程。2、按照不同的分类标准,微分方程可以分为线性或
非线性
,齐次或非齐次。一般地,微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解,含有相互独立的任意常数,且任意常数的个数与微分方程阶数相等的解称为微分方程的通解(一般解)。
偏微分方程
数值解
答:
然后,在每个网格点上,用差分来近似导数,得到离散化的方程。最后,通过迭代
求解
这个离散化的方程组,得到原方程的近似解。另一种常用的数值解方法是有限元法。这种方法将连续的函数空间离散化为有限的元素,然后在每个元素上进行插值,得到近似的函数值。有限元法可以处理更复杂的
偏微分方程
,如
非线性
...
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